Correction Exercice 8 Page 18 - Appliquer - Math Tome 2 - 2éme

Correction Activité 8 Page 18

Nous savons que la suite (Un) est arithmétique, donc la différence entre chaque terme consécutif est constante. Soit r cette raison, nous avons alors :

U3 = U0 + 3r = 2
U11 = U0 + 11r = 26
Nous pouvons utiliser ces deux équations pour trouver les valeurs de U0 et r. Pour cela, nous pouvons soustraire la première équation multipliée par 11 par la deuxième équation multipliée par 3, ce qui nous donne :

11(U0 + 3r) - 3(U0 + 11r) = 0
En développant et en simplifiant cette expression, nous obtenons :

24U0 + 9r = 0
Nous pouvons maintenant utiliser la première équation pour éliminer U0 en exprimant U0 en fonction de r :

U0 = 2 - 3r
En remplaçant cette expression de U0 dans l'expression précédente, nous avons :

24(2 - 3r) + 9r = 0
En développant et en simplifiant cette expression, nous obtenons :

3r = 18
En divisant par 3 de chaque côté, nous avons :

r = 6
Nous pouvons maintenant utiliser l'une des deux équations pour trouver U0. En utilisant la première équation, nous avons :

U0 + 3r = 2
U0 + 3(6) = 2
U0 = -16
Maintenant que nous avons trouvé la raison r = 6 et le premier terme U0 = -16, nous pouvons calculer la somme S :

S = U0 + U1 + ... + U15
S = (U0 + U15) + (U1 + U14) + ... + (U7 + U8) (on regroupe les termes 0 et 15, 1 et 14, etc.)
S = (U0 + U11 + 4r) + (U0 + U11 + 2r) + ... + (U0 + U11) (on exprime les termes en fonction de U0, U11 et r)
S = 8(U0 + U11) + 2(0 + 1 + 2 + ... + 7)r (il y a 8 termes dans la somme précédente)
S = 8(-16 + 26) + 2(0 + 1 + 2 + ... + 7)(6) (en utilisant U0 = -16 et U11 = 26)
S = 80 + 168
S = 248
Ainsi, la somme S est égale à 248.